Economia & Energia
Ano VIII -No 42:
Janeiro-Fevereiro 2004  
ISSN 1518-2932

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Opinião:

Desenvolvimento Sustentável

Desemprego

Artigo:

Distribuição do Potencial Hídrico em uma Bacia Hidrográfica

Tese:

A Produtividade do Capital no Brasil de 1950 a 2002

 

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Artigo:

 Distribuição do Potencial Hídrico em uma Bacia Hidrográfica

Omar Campos Ferreira.
omar@ecen.com

Introdução.

Na edição nº 36 da revista Economia & Energia  apresentamos um modelo de estudo da morfologia de bacias hidrográficas[1] utilizando o conceito de entropia na versão formulada por Boltzmann para a Mecânica Estatística. O modelo foi desenvolvido por Yang[2] a partir da expressão da entropia específica (por unidade de massa d´água) para uma sub-bacia:

  S = k [Σu (Δhu/H)][3],

sendo hu o desnível médio das correntes da sub-bacia de ordem u, H o desnível total da bacia (diferença de nível entre a cabeceira da corrente mais alta e a foz da corrente mais baixa) e k uma constante de proporcionalidade. Esta expressão é algo semelhante à da Termodinâmica Clássica para o fenômeno de troca de calor entre corpos a temperaturas diferentes:

                                    S ≥ Σ(Q/T),

substituindo-se o calor trocado pela variação da energia potencial (proporcional a  Δhu) e a temperatura absoluta pelo desnível H. Uma conclusão importante do trabalho de Yang é que o desnível médio por sub-bacia tende a ser constante à medida que o sistema se aproxima do equilíbrio dinâmico. Portanto, a constância do desnível seria um indicador da maturidade do sistema. Aplicado a 14 bacias dos EUA, o modelo comprovou essa propriedade com desvio relativo da ordem de 0,5%.

A analogia proposta é um ponto de partida interessante para a extensão do conceito de entropia a fenômenos cuja interpretação não requer necessariamente a consideração de trocas de calor, mas envolve dificuldades conceituais relevantes, como:

-          O conceito clássico de entropia refere-se a sistemas fechados (sem troca de massa) e sua extensão a sistemas abertos, como a bacia hidrográfica, que recebe água de chuva, requer tratamento diferenciado;

-          A entropia de um sistema termodinâmico é uma variável extensiva, isto é, proporcional à massa do corpo que recebe ou cede calor; a entropia usada por Yang está referida à unidade de massa d´água, o que parece ser um artifício para conciliar o tratamento de sistemas abertos  com a  metodologia desenvolvida  para sistemas  fechados, visto que a massa unitária é constante, por definição.

Este trabalho se propõe contornar essas dificuldades, usando o conceito mais geral de dissipação da energia, ou de irreversibilidade, aplicável a sistemas de qualquer natureza, conservando a seqüência lógica do trabalho de Yang.

Essa nova abordagem permite avaliar a distribuição de potencial hídrico por sub-bacias e teria utilidade na estimativa preliminar do potencial disponível em uma grande bacia para aproveitamentos de pequena potência (PCH). A geração hídrica ainda é a melhor opção para o Brasil, dos pontos de vista econômico e ecológico, e as pequenas centrais podem se justificar plenamente em um cenário de elevação dos preços dos combustíveis fósseis[4].

Sistemas abertos.

O sistema considerado é a corrente d´água, limitada pelas secções de entrada e de saída, pela calha e pela superfície de separação água-ar. O sistema troca energia (energia potencial da água que aflui do solo e  trabalho de escoamento contra as resistências passivas)[5] e matéria (água e material resultante da abrasão do solo) com a vizinhança através da fronteira.     

O método de tratamento do sistema aberto considera dois termos para a variação de entropia: a entropia gerada por fenômenos irreversíveis no interior do sistema (escoamento contra resistências passivas) e o fluxo convectivo de entropia associado com as trocas de energia e de matéria entre o sistema e a vizinhança. A entropia gerada cresce sempre, como no  sistema isolado, tendendo, pois,  a um máximo absoluto, mas a variação total de entropia  pode ser positiva, negativa ou nula, dependendo das condições da vizinhança . Se o fluxo líquido de entropia (entrada menos saída) compensa a geração interna, o sistema alcança, na trajetória para o equilíbrio estático final, um ou mais estados de equilíbrio dinâmico provisório (metaestável), cada um deles correspondendo a um máximo relativo da entropia e a uma dada condição da vizinhança[6].

Adaptação do modelo de Yang para descrever a distribuição de potencial hídrico.

Procuramos, neste trabalho, exprimir a geração de entropia em termos da irreversibilidade mecânica, entendida como a perda de capacidade de geração de trabalho devida a fenômenos irreversíveis.

A equação básica do modelo para sistema aberto (trecho infinitesimal de corrente) é:

                                   dSgerada + dSconvecção ≥ 0

Para uma sub-bacia[7], a equação acima é integrada, tornando-se:

                                   ΔSger. + ΔSconv. ≥ 0

Em regime permanente,

                                   ΔSger. + ΔSconv.= 0

significando que a entropia pode permanecer constante, caso em que o sistema não atingiria o equilíbrio, enquanto o fluxo de entropia compensar a geração.

A geração de entropia é devida, no caso do escoamento, à resistência oposta pela vizinhança ao movimento da água (atrito e viscosidade) e pelo trabalho de erosão do solo e de transporte do material em suspensão. Na ausência desses efeitos, o ganho de energia cinética (ΔKrev) em um trecho da corrente é igual à diminuição da energia potencial (ΔP):

                                 ΔKrev + ΔP =  Δ(Krev + P) = 0    

 No caso real,

                                   Δ(Kirrev.+ P) < 0,

A irreversibilidade mecânica seria, pois, medida pela diferença:

        I = ΔKrev - ΔKirrev. = |ΔP - ΔKirrev| | =  |ΔP|. (1 - α )     (1)

No análogo termodinâmico, a irreversibilidade associada com a troca espontânea de calor entre duas fontes quentes, a temperaturas T1 e T 2, é:

                                I = Q [(1 -T0/T1)  – (1 - T0/T2)] = Q (1/T1  - 1/T2),

expressão da perda de capacidade de realização de trabalho em um ciclo de Carnot, em que Té a temperatura da fonte fria. Na analogia proposta, Q é substituído por ΔP e a temperatura absoluta corresponde ao desnível na sub-bacia. 

Entropia segundo Boltzmann. 

Para utilizar o conceito de entropia de Boltzmann,  é necessário introduzir o conceito de probabilidade termodinâmica. O estado de um sistema termodinâmico pode ser representado por uma variável global (macroscópica) ou por um conjunto de variáveis que descrevem o comportamento dos elementos do sistema (variáveis microscópicas). Se o sistema contém um grande número de elementos (no caso, partículas de água e de solo) que interagem por mecanismos elementares (colisão, atração gravitacional, etc...), a descrição microscópica é virtualmente impossível. Assim é que surgem, nos estudos de economia, variáveis macroscópicas, como produto interno bruto, poupança interna, balança comercial, etc..., que representam valores globais observáveis. A partir da descrição macroscópica da evolução do sistema, é possível especular sobre valores das variáveis microscópicas (distribuição de renda por classes sociais, participação de um dado setor de produção no PIB, etc...).

Para cada valor da variável macroscópica, existem diferentes combinações de valores das variáveis microscópicas satisfazendo a dadas condições (número de elementos, energia interna, massa , etc...). A probabilidade termodinâmica do macroestado é definida como a razão do número de microestados que satisfazem a dadas condições, específicas para cada tipo de problema,  para o número total de microestados possíveis. A entropia do sistema em função da probabilidade termodinâmica p do macroestado é, na formulação da Mecânica Estatística:

                                   S = k ln p 

Para as finalidades deste estudo, o estado da bacia é representado pelo potencial total  ΔP, considerado como a variável macroscópica de estado. Para cada valor de ΔP, há vários conjuntos de valores dos potenciais por sub-bacias (ΔPu) que satisfazem a equação:

         ΔP = Σu ΔPu.                                     (2)         

A probabilidade termodinâmica p do macroestado será, portanto, a razão do número dos conjuntos de valores de ΔPu que satisfazem a equação (2) para o número de todos os conjuntos de valores possíveis.

O cálculo direto da energia dissipada exigiria o conhecimento da energia cinética da água, da declividade local, das propriedades do solo,etc..., tornando extremamente difícil o estudo pretendido, visto que essas propriedades variam a cada trecho de cada corrente da bacia. Em princípio,  seria suficiente supor a  proporcionalidade sugerida pela equação (1), com α constante, e recorrer à distribuição de probabilidade de dissipação como representação da distribuição de potencial. Supondo que as probabilidades elementares pu (de ocorrência de irreversibilidade) sejam independentes entre si, a probabilidade de uma dada distribuição por sub-bacias é igual ao produto das probabilidades elementares:

                                   p = p1. p2. p3...pm     (m é o extremo de u)

A entropia do sistema é, pois,

                                   S = k ln (p1. p2. p3 …pm) = ∑1m ln pu.

O máximo da entropia corresponde ao máximo da probabilidade termodinâmica, visto que o logaritmo é função crescente do argumento. Considerando a probabilidade de ocorrência de irreversibilidade como função contínua das variáveis do problema, dado ao grande número de interações possíveis, a condição de ocorrência do máximo de entropia pode ser escrita como:   

                                   dp = 0                                               (3)

sujeita à condição     (Σu pu) = 1         (definição de probabilidade).            (4)

A equação (3) é equivalente a:

                             Σu (∂p/∂pu) dpu  = 0

ou:                             

Σ(dpu /pu) = 0                    (5)

Para pu finito, a solução de (5) é:

                                   dpu = 0 ou pu = constante.

Portanto, a probabilidade elementar é independente da ordem da sub-bacia considerada. Usando a condição (4), calcula-se:

 pu = 1/m

                               ΔPu = ΔP/m.

Vê-se, pois, que nos estados de equilíbrio, o potencial da bacia se distribui uniformemente pelas sub-bacias[8]. Nas imediações do estado de equilíbrio, a uniformidade da distribuição de potenciais é mais ou menos aproximada, dependendo da “distancia entrópica” a esse estado. Esse fato poderia ser comprovado pela comparação cartográfica de um conjunto de bacias em diferentes estágios de evolução, o que requer um estudo laborioso, embora simples.

Para os objetivos práticos deste estudo, parece suficiente examinar a distribuição de potencial em bacias já bastante aproveitadas, tomando-se a distribuição de potência hidroelétrica instalada como amostra daquela, visto não dispormos de dados morfológicos apropriados. Um exemplo interessante, entre as bacias brasileiras, é a do Rio Paraná, atualmente com cerca de 65% do potencial em operação e cerca de 86% do potencial inventariado. Espera-se que a distribuição de potência das usinas em operação, por sub-bacias,  sirva  como verificação aproximada do resultado obtido.  

Tabela: Usinas da Bacia do Rio Paraná.

Rio

Usina

Potência MW

Rio

Usina

Potência MW

Paraná

Ilha Solteira

  3.440

Tietê

Bariri

      144

 

Jupiá

  1.551

 

Barra Bonita

      140

 

P. Primavera

  1.800

 

Ibitinga

      132

 

Itaipu

12.600

 

Promissão

      264

 

Total

19.391

 

Rui Barbosa

      347

Paranaíba

Itumbiara

  2.280

 

Porto Góes

        11

 

Cach. Dourada

     658

 

Rasgão

        22

 

Emborcação

  1.172

 

Três Irmãos

      808

 

S. Simão

  1.710

 

Total

   1.868

 

Total

  5.850

Parana-panema

Jurumirim

        98

Grande

Camargos

       48

 

Canoas I e II

      155

 

Estreito

  1.104

 

Capivara

      640

 

Furnas

  1.312

 

Xavantes

      416

 

Igarapava

     210

 

Salto Grande

        72

 

Itutinga

       52

 

Rosana

      372

 

Jaguara

     424

 

Taquaraçu

      555

 

A.  Vermelha

  1.396

 

Total

   2.308

 

Marimbondo

  1.488

Iguaçu

Salto Caxias

   1.240

 

Peixoto

     478

 

Salto Osório

   1.078

 

Porto Colômbia

     328

 

S. Santiago

   1.420

 

Volta Grande

     380

 

Segredo

   1.260

 

Total

  7.220

 

Foz de Areia

   1.676

 

 

 

 

Total

   6.674

                            

Os dados da tabela mostram que a potência instalada na corrente maior (Rio Paraná) - 19.391 MW - é aproximadamente igual à soma das potências instaladas nas sub-bacias de ordem imediatamente inferior – 23.920 MW, com a aproximação de 23%, da mesma ordem de grandeza da obtida por Yang para alguns dos parâmetros de Horton. Conforme mostramos no artigo anterior, as leis empíricas são apresentadas em escala logarítmica, de forma que um bom coeficiente de correlação não se traduz necessariamente em pequenos desvios quando se converte o gráfico para escala métrica.[9]

Conclusões.

A evolução das bacias hidrográficas implica prazos na escala geológica, enquanto que o aproveitamento das quedas para a geração de eletricidade é um processo relativamente recente. As leis empíricas de Horton representam uma aproximação para processos de longo prazo e devem ser usadas com as ressalvas necessárias. Nesta ordem de idéias, é claro que a estimativa de potencial para pequenas usinas não substitui o inventário de campo, mas dá uma informação preliminar da capacidade dessas usinas como complemento das grandes usinas no atendimento da demanda regional de eletricidade. A validade da distribuição de potencial para todas as sub-bacias deve ser verificada mediante um estudo de morfologia nos moldes do realizado para a bacia do rio Santo Antonio, mas está fora do alcance deste artigo por exigir exame minucioso que leve ao ordenamento das correntes. Se for comprovada a constância do potencial por sub-bacia, a capacidade de geração em PCH supera largamente as estimativas correntes.


[1] “Aplicação da Termodinâmica no Estudo da Morfologia da Bacia do Rio Santo Antonio”, Moreira, C.V.R., Martins Jr., P.P, Ferreira, O.C., 2002.

[2] “Potential Energy and Stream Morphology”, Yang, C.T, Water Research Study, 1971.

[3] A notação original foi mudada para facilitar a digitação do texto. A integral que figura no artigo anterior e que foi substituída pela somatória define a variação de entropia entre um estado de referência e o estado genérico do sistema. Atribuindo à entropia no estado de referência o valor zero, fica indiferente usar entropia ou variação de entropia..

[4] Na Europa, a potência média das pequenas usinas é da ordem de 0,6 MW (apud “Geração de Energia Elétrica no Brasil: Histórico e Perspectivas”. Amaral, C.A, Dissertação de Mestrado em Planejamento Energético, UFMG, 1998).

[5] Em primeira aproximação, as trocas de calor são consideradas como contribuições menores.

[6] O equilíbrio dinâmico equivale ao regime permanente usado nos textos de Engenharia. Nesse estado, os fluxos de energia e de entropia são considerados como independentes do tempo

[7] O critério de ordenação designa por correntes de ordem 1 as correntes singulares (sem afluentes). A junção de 2 correntes de ordem 1 forma uma corrente de ordem 2, e assim por diante. Sub-bacia de ordem u é o conjunto das correntes dessa ordem.

[8] Outras restrições, se conhecidas, poderiam modificar a distribuição. Em todos os casos em que não há outras restrições, além da expressa pela definição de probabilidade, a inferência menos tendenciosa é de uniformidade da distribuição (Princípio da Razão Insuficiente). Observe-se que a mudança de valor do potencial total, por modificação da precipitação pluvial ao longo de alguns ciclos hidrológicos ou por intervenção antrópica, acarreta a evolução da distribuição  até que se atinja um novo estado de equilíbrio. 

[9] Observe-se que o desvio padrão em lnx é: (σln x)2 = (d/dx lnx σx)2 = (1/x σx)2 . Para x>1, σln x< σx , ou seja, o gráfico logarítmico atenua a somatória dos desvios padrão.

 

Graphic Edition/Edição Gráfica:
MAK
Editoração Eletrônic
a

Revised/Revisado:
Friday, 19 March 2004
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