Economia & Energia
No 36: Janeiro-Fevereiro 2003
ISSN 1518-2932

Aplicação da Termodinâmica para a avaliação do Equilíbrio das Redes Fluviais - a bacia do rio Santo Antonio

Projeto financiado pela FAPEMIG
Ceres Virgínia Rennó Moreira
Pesquisadora da Fundação Centro Tecnológico de Minas Gerais / CETEC
Omar Campos Ferreira
Pesquisador Associado da Fundação Centro Tecnológico de Minas Gerais / CETEC
Paulo Pereira Martins Junior
Pesquisador da Fundação Centro Tecnológico de Minas Gerais / CETEC

Nota da Redação: Equilíbrio das Redes Fluviais.

O artigo sobre o equilíbrio de redes fluviais é uma das aplicações do conceito generalizado de entropia, proposto por Boltzmann. A função entropia foi introduzida na Termodinâmica Clássica para traduzir a fatalidade do equilíbrio estático final nos sistemas termodinâmicos, tema desconhecido na Mecânica Clássica. Assim, a entropia do sistema cresce monotonicamente, atingindo seu valor máximo no estado de equilíbrio estático. Nos sistemas abertos, como a rede fluvial, que troca matéria e energia com sua vizinhança, o equilíbrio estático é precedido por um ou mais estados de equilíbrio dinâmico temporário (regime permanente), existindo, pois, uma sucessão desses estados que correspondem a máximos relativos de entropia precedendo o máximo absoluto final.

O crescimento da entropia foi relacionado, por Clausius, com a ocorrência de fenômenos irreversíveis, como a troca de calor sob diferença de temperatura finita, a difusão, a resistência ao movimento (atrito, viscosidade, etc...). Na rede fluvial, a irreversibilidade é atribuída à escavação do solo, à dispersão de suas partículas na água, ao transporte desse material para baixo, etc... Diz-se, a respeito, que a energia total é conservada, mas sua disponibilidade para causar a evolução do sistema decresce à medida que a entropia deste aumenta, ou que a energia é dissipada, e não consumida, pela irreversibilidade.

Aplicações deste tipo são comuns na economia, no planejamento urbano e até mesmo na psicologia. O modelo macroeconômico desenvolvido por Carlos Feu et al., base dos trabalhos de "Economia&Energia", incorpora variáveis "exógenas" calcadas na noção de entropia, como a depreciação do capital, o de crescimento da produtividade do capital e a transferência de bens e de serviços para o exterior. Omar Campos Ferreira em 08/02/2003

ABSTRACT

The theories of average stream fall and least rate of energy expenditure were developed by Chih Ted Yang. Both are specific applications of the entropy law as applied to the analysis of terrain stability / instability. This paper is a report of an analysis of Santo Antônio watershed in Minas Gerais State based in both theories. In this basin the erosion process is a real tendency as it was previously observed with the cartography of the many spots of erosion forms like gullies and land slides, which are abundant. Erosion is a process conducting the watershed to evolve far from a dynamic equilibrium.

RESUMO

As teorias da queda média dos rios e da mínima dispersão de energia, desenvolvidas por Chih Ted Yang (1971), baseadas no conceito de entropia, foram aplicadas à análise da estabilidade / instabilidade do rio Santo Antônio, pertencente à bacia do rio Grande. Foi confirmada a tendência à degradação da bacia, observada em estudos anteriores de erosão acelerada por voçorocas e escorregamentos e seu afastamento da fase de equilíbrio dinâmico.

INTRODUÇÃO

A análise da rede de drenagem sob o enfoque da termodinâmica é uma decorrência dos trabalhos que demonstraram que o conceito de equilíbrio dinâmico rege os sistemas fluviais. Cita-se o trabalho pioneiro de GILBERT sobre a geologia das montanhas de Utah (EUA), em 1877, quando introduziu o conceito de equilíbrio dinâmico na evolução da paisagem, apresentando duas conclusões sobre a rede fluvial - "os rios tendem a distribuir o trabalho executado em cada parte de seu curso; e, quando a razão da erosão como função da vertente torna-se igual à resistência em função do tipo de rocha, há um equilíbrio de ação".

HORTON (1945), deu um novo impulso no conhecimento a respeito da rede de drenagem, desenvolvendo um método para a sua análise. Desenvolveu um sistema de classificação, ordenação e hierarquização para a rede fluvial que abrange as leis de ordem nos segmentos fluviais, o número de canais e o número de bifurcações, entre outras. Contudo, as alterações propostas por STRAHLER (1957) nesse sistema são as mais utilizadas atualmente.

Em 1962, LEOPOLD E LANGBEIN introduzem o conceito de entropia na avaliação da morfologia fluvial. Segundo eles, por analogia com a entropia termodinâmica, postula-se que um sistema geomorfológico (como a rede fluvial) é um sistema aberto em estado de regime permanente. Isso acarreta duas generalizações sobre a distribuição de energia mais provável, que seria um estado intermediário entre dois estados ou tendências: um estado em que a taxa de dispersão de energia é uniformemente distribuída; e um estado onde o sistema executa um trabalho mínimo.

YANG (1971), continuando os trabalhos nessa linha, adaptou o conceito de energia e entropia para verificar o tipo de relação existente entre as diferentes ordens fluviais e selecionar o ordenamento que melhor representasse a essência de uma rede de drenagem, procurando explicar a formação da rede de drenagem, a origem dos meandros e o transporte de sedimentos. Desenvolveu ainda a teoria da queda média dos rios e a teoria da taxa mínima de gasto de energia pelo sistema fluvial, afirmando que os rios, durante sua evolução na direção de uma condição de equilíbrio, escolhem seu curso de forma a que a taxa de dispersão de energia potencial por unidade de massa de água seja mínima. Alerta todavia, que o modelo se aplica aos rios que tenham atingido a condição de equilíbrio dinâmico, ou seja, para os rios que durante o processo de atingir o equilíbrio estático final, reajustaram-se de tal forma que há um balanço entre o trabalho executado e os sedimentos carreados.

Aplicou-se então a metodologia de Yang (1971) à bacia do rio Santo Antônio, que é um afluente do rio das Mortes, sendo ambos integrantes da bacia do rio Grande. O objetivo foi verificar o grau de ajuste do seu perfil longitudinal atual aos perfis longitudinais calculado e de equilíbrio, bem como verificar se essa metodologia poderia captar a tendência à erosão já constatada em estudos anteriores. Análises de estabilidade que indicam tendências e mudanças da drenagem são uma importante ferramenta para subsidiar ações que, por exemplo, visem a restauração de um rio, ou seja, o restabelecimento da estrutura, função e dinâmica do seu ecossistema ISRWG (1998).

METODOLOGIA

O trabalho foi executado sobre fotos aéreas 1:30 000 do vôo 0- 385 e com as folhas topográficas 1:50000 e 1:100000 do FIBGE de Jacarandira, Resende Costa, Tiradentes, e São João del Rei.

A partir do mapeamento detalhado de todos os canais visíveis da rede de drenagem nas fotos aéreas e sua transposição para as bases topográficas, foram obtidos os dados de hierarquização da rede de drenagem, altitude, comprimento e área de drenagem de todas as ordens fluviais para o cálculo das equações de Horton – Strahler e construção do seu diagrama; e para o cálculo das equações de Yang e construção dos perfis longitudinais atual, calculado e de equilíbrio do rio Santo Antônio.

Equações de analogia para que uma bacia hidrográfica seja considerada como um sistema termodinâmico aberto em regime quase-estacionário

A base metodológica fundamenta-se no teorema de PRIGOGINE (1967), para o sistema termodinâmico clássico, tendendo para o regime permanente que assume que:

A entropia inerente ao sistema tende para o valor máximo compatível com as restrições impostas pela vizinhança.

As equações de analogia, segundo Yang (1971), definem:

H_u – como a perda média de energia potencial por unidade de massa de água para todos os cursos de água de ordem u.

Y_u – como a queda (diferença de nível) entre a nascente e a foz do curso de água de ordem u

Z_m – como a queda total entre a nascente do

curso de água de ordem u=1 e a foz do

curso de maior ordem da bacia (no caso

analisado, m=7).

H_u= g Yu (1)

Onde g é um fator para conversão entre energia e queda.

Por analogia termo – mecânica, a temperatura absoluta em um sistema térmico é equivalente à elevação em um sistema fluvial, e a energia termal no sistema térmico é equivalente à energia potencial em um sistema fluvial. Tem-se então:

A variação de entropia do sistema à temperatura T, devida à troca de calor dE:

DS = ò dE / T

No caso mecânico (por analogia), para a rede fluvial:

DS = ò dH / Z_m = g ò ( dY_u / Z_m )

Para o curso de água de ordem u:

DS_u = g ò_udY_u/ Y_u

A probabilidade de que determinada perda de energia ocorra no curso de ordem u é:

p = H_u / H_m = Y_u / Z_m(2)

A variação média de entropia nos cursos de ordem u é:

DS_u= g ò_u dY_u / Y_u = g ò_u Z_m dp / Z_m p =

g ln p_u + constante (3)

A distribuição mais provável de energia na bacia, em regime estacionário, é a que maximiza a função

DS = å_u DS_u = g å_u ln p_u + constante sob a condição å_up_u= 1 (4)

Trata-se de um problema clássico de determinação de um extremo condicionado que se resolve pelo método de multiplicadores indeterminados de Lagrange. Pode-se demonstrar que o máximo verifica-se para p₁ = p₂ = p₃ ......= p_m

Observando a equação (2), resulta a lei da igualdade das quedas médias de cada ordem do curso de água que pode ser expressa por:

Y_u =Y_u+1= constante (5)

Leis empíricas Horton – Strahler

Adotando-se a ordenação dos cursos de água de Strahler, as leis de Horton - para o número de canais, o comprimento médio dos canais e a declividade média dos canais - são descritas pelas equações:

ln N_u = A – Bu

ln L_u = C – Du

ln S_u = E – Fu

ln Ad_u = M – Nu

sendo:

u = numero de ordem do canal

N_u = número de canais de ordem u

L_u = comprimento médio dos cursos de

ordem u

S_u= declividade média ( Y_u / L_u) dos canais de ordem u

Ad_u = área média de drenagem dos canais

de ordem u

Destas leis extraem-se as expressões:

e^B = N_u / N_u+1 (razão de bifurcação)

e^D = L_u / L_u+1 (razão dos comprimento médios)

e^F = S_u / S_u+1 = ( Y_u / L_u) / ( Y_u+1 / L_u+1)

(concavidade do perfil do curso de ordem u)

e^N = Ad_u / Ad_u+ (razão das áreas de drenagem)

A proximidade ao regime permanente (maturidade da bacia) pode ser avaliada pela lei de igualdade das quedas (equação 5). A Outra forma de se avaliar a maturidade consiste em se comparar o perfil longitudinal calculado da bacia com o perfil de equilíbrio. O perfil é descrito pela equação:

å_u Y_u = f (å_u L_u)

Das leis empíricas, calculam-se a queda total e o percurso total até a ordem u, resultando:

å_u Y_u = e^(C+E) å_u e ^{– (D+F)u}

e å_u L_u = e^C å_u e ^–uD (6)

Quando a bacia de drenagem atinge a maturidade,

e ^{– (D+F)} = 1 e å_u Y_u =u e ^(C+E⁾ (7)

O perfil calculado é descrito pelas equações (6) e o perfil de equilíbrio é descrito pelas equações (7), com os mesmos valores de å_u L_u usados para o perfil calculado. A construção de um gráfico com as equações mencionadas fornece os perfis longitudinais da rede de drenagem. A maturidade é avaliada pelo afastamento do perfil calculado ao perfil de equilíbrio.

A BACIA DO RIO SANTO ANTÔNIO

A bacia do rio Santo Antônio abrange uma área de 500 km2, situada na serra das Vertentes, cuja linha de crista principal divide as águas das bacias do rio São Francisco e rio Grande.

A morfologia da área caracteriza-se por colinas elaboradas sobre o embasamento granito – gnáissico na região central da bacia e por cristas e colinas mais elevadas nas áreas anfibolíticas do entorno da mesma. A rede de drenagem é dendrítica com trechos do rio principal e afluentes controlados pelas direções estruturais predominantes NW e NE. Afloramentos graníticos e anfibolíticos condicionam as cachoeiras e corredeiras encontradas no alto curso do rio Santo Antônio.

Os trabalhos do CETEC (1989) constataram, nessa bacia, uma grande concentração de focos de erosão – 754 focos no total – sendo que 447 foram caracterizados como voçorocas (Figura 1). MOREIRA (1992) mostrou que a bacia foi submetida, durante toda a sua história geológica, a vários episódios de erosão acelerada que ficaram registrados pela presença de paleovoçorocas, escorregamentos e por seus depósitos correlativos em vários pontos das vertentes e da rede de drenagem.

Estas características foram determinantes para a escolha da bacia, porque permitiriam uma avaliação do impacto dos processos erosivos na rede de drenagem e da capacidade ou não de ajuste da mesma a esses processos. Na Tabela 1 estão relacionados os dados básicos da bacia hidrográfica do rio Santo Antônio.

Figura 1

Figura ampliada

Tabela 1 - Dados morfométricos da rede de drenagem do rio Santo Antônio

Ordem

1

2

3

4

5

6

7

Variáveis

N_u - N. de canais

3 050

803

189

42

9

2

1

Y_u - Desnível médio (m.)

39,29

27,92

25,19

34,57

41,33

56,00

5,00

Comprimento total dos canais (m.)

791 160

343 800

172 290

101 700

61 710

47 280

2 820

L_u-Comprimento médio dos canais (m.)

259,40

428,10

911,60

2 421,40

6 856,70

23 640,00

2820,00

Área das bacias (ha)

23 320

35 723

43 130

47 580

49 640

51 663

51 805

Ad_{u
–}Área média das bacias (ha)

7,64

44,48

228,20

1 132,85

5 515,55

25 831,50

51 805,00

S_u – Declividade média (0/00)

50

65

27

14

6

2

1

Com esses dados, construiu-se o Diagrama de Horton - Strahler (Figura 2).

Figura 2 – Diagrama de Horton – Strahler para a bacia do rio Santo Antônio, MG

Aplicaram-se então, as equações de Yang, e construíram-se as Tabelas 2, 3 e 4 para o cálculo dos perfis calculado e de equilíbrio.

Cálculo do perfil calculado (equações 6 e 7):

Queda vertical calculada:

Z_m = e^(C+E) S_u^me ^{- (D+F) u}

Distância horizontal calculada:

X_m = e^C S_u^m e^-uD

Cálculo do perfil de equilíbrio:

Z´_m= e^(C+E)(8)

Constantes:

C+E = -2,26 + 7,37 = 5,11

e^(C+E)= 166

e^C= 0,104

D+F = -0,614 + 0,769 = 0,155

e^-(D+F)= 0,856

Queda vertical de equilíbrio:

Z'_m= m e ^(C+E)

Distância vertical de equilíbrio:

X_u = X_u

Tabela 2 - Queda vertical calculada

Ordem	e^{-(D+F) u}	S_u⁷ e^{-(D+F) u}	e^(C+E)Se^{-(D+F) u}	Z_u- Z_u+1	S (Z_u-Z_u+1)
1	0,856	3,949	654	142	142
2	0,733	3,093	512	121	263
3	0,628	2,360	391	104	367
4	0,538	1,732	287	89	456
5	0,461	1,194	198	77	533
6	0,395	0,733	121	65	598
7	0,338	0,338	56	56	654

Tabela 3 - Distância horizontal calculada

Ordem

e^{- uD}

S_u⁷ e^-uD

e^C S e^-uD

X_u- X_u+1

S (X_u- X_u+1)

1

1,85

158,1

16,50

0,19

0,19

2

3,41

156,3

16,31

0,37

0,56

3

6,31

152,8

15,94

0,65

1,21

4

11,7

146,5

15,29

1,22

2,43

5

21,5

134,8

14,07

2,25

4,68

6

39,8

113,3

11,82

4,15

8,83

7

73,6

73,5

7,67

7,67