1 - Introdução
A necessidade de previsão do futuro pode ser parcialmente atendida por uma metodologia científica simples, avalizada por centenas de exemplos (1,2,3,4), que permite projetar o desenvolvimento de certo tipo de fenômenos. Esta metodologia só se aplica a fenômenos já em andamento o que lhe tira um pouco da graça mas ainda conserva boa margem de interesse, sobretudo econômico e social.
O exemplo mais sugestivo dos fenômenos a serem considerados é o da propagação de uma "epidemia" (doenças, modas, gírias, especulação financeira, etc). Esses fenômenos se baseiam em mecanismos de imitação de comportamentos supostamente fadados ao sucesso. A imitação supõe a transmissão de uma informação (ou de um virus) o que exige algumas condições: proximidade do observador com o observado, tempo de observação, credibilidade ou prestígio do indivíduo observado, etc..
Para estabelecer uma lei matemática que leve
à previsão do desenvolvimento da nova moda podemos seguir
diversos modelos :
1) o modelo biológico desenvolvido por Volterra-Lotka ;
2) o modelo termodinâmico de inter-difusão de
dois gases perfeitos ;
3) um modelo probabilístico na linha da
Termodinâmica Estatística.
O modelo probabilístico parece ser o mais intuitivo e será exposto a seguir.
2 - Modelo probabilístico da "lei" logística
Consideremos um conjunto de indivíduos dos quais N' exibem um dado comportamento (contaminado) e N não o exibem. Como foi dito, a propagação do comportamento supõe certos requisitos, alguns mensuráveis objetivamente (proximidade,tempo,...) e outros de caracterização subjetiva (credibilidade, prestígio, ...). Suponhamos provisoriamente que todos sejam mensuráveis por algum parâmetro. O conjunto desses parâmetros define o que se conhece, na Termodinâmica Estatística, como um espaço de fases. Este espaço representa um extensão do conceito euclideano do espaço de três dimensões (comprimento, largura e altura) em que as variáveis descritivas de um dado fenômeno são tomadas no lugar das variáveis de Euclides (esta generalização foi usada por Lagrange, em sua Mecânica Analítica de coordenadas generalizadas, e retomado por Boltzmann na tentativa de "reduzir" a Termodinâmica à Mecânica).
Suponhamos que as condições necessárias à transmissão da informação, sejam representadas por intervalos das variáveis do espaço de fases. Podemos então associar a cada elemento N' (que já tenha o comportamento) um volume no espaço de fases tal que se um elemento de N estiver dentro desse volume ele poderá interagir com um elemento de N'.
A variável tempo merece um tratamento especial dado que qualquer fenômeno demanda um certo tempo. A duração do intervalo de tempo em que os dois participantes da interação mantêm as demais condições requeridas é uma medida do número de oportunidades de interação e, portanto, da probabilidade de que ela ocorra.
Seja um espaço de fases que contenha, no
instante t, N' indivíduos, a cada um dos quais se associa o
volume de interação V = x1 x2...xn
e um único indivíduo do conjunto
N colocado aleatoriamente
neste espaço. A probabilidade de que este indivíduo caia dentro
de um dos volumes de interação é proporcional a N'
,
onde V
é o volume do
espaço de fases associado com o fenômeno). Se considerarmos os
N indivíduos, colocados aleatoriamente no espaço de fases, o
número deles que provavelmente caem em volume de interação
será proporcional a N.
Assim, o número de interações que provavelmente ocorrerão no intervalo de tempo
t será N = a N N'
t. Se considerarmos t
como infinitésimo (para supor que as
demais condições não se alteraram)
, onde a
é uma
constante de proporcionalidade que inclui a eficiência de
conversão, suposta constante; e
a taxa de contaminação.
Se chamarmos a população total
N + N' = 
podemos escrever :
(1) 
Esta equação é integrável e pode ser colocada como função linear do tempo mediante mudança de variável, dando :
(2) 
(3) ln
em que F
é a proporção de indivíduos N
na
população total 
e a
e b
são constantes
características de cada tipo de fenômeno considerado. A
função expressa pelas equações 2 e 3 é conhecida como
função logística.
Observando o andamento do fenômeno é possivel determinar as constantes a e b, para prever o desenvolvimento futuro, com precisão dependente do número de informações sobre a história do fenômeno.
Se o número de dados não for suficiente para
a determinação confiável das constantes a
e b,
deve-se estender a observação até o ponto em que
passe
pelo valor máximo 
para completar a previsão.
Derivando a equação (1), obtem-se
e como
somente se anula para N = 0
e N =
podemos deduzir que
para
, ou
seja, se observarmos o fenômeno até o ponto em que a derivada
segunda se anula, podemos calcular o valor de
max , sendo Nmax
. o ponto (observado) em que
( ponto de inflexão da curva N = N (t) ).
Vê-se que a segunda metade da história do fenômeno pode ser prevista a partir da história conhecida da primeira metade. Entretanto, há alguns requisitos a observar :
a) os dados da observação devem ser confiáveis o que nem sempre acontece com estatísticas dos fenômenos
b) as variáveis que regem o fenômeno devem estar todas identificadas para não haver engano quanto a Nmax
c).a observação deve se estender algo além da metade pois, em geral,a identificação do ponto Nmax (de máximo ou mínimo) é incerta
d) o sistema estudado deve ser isolado, isto
é, não estar sujeito a influências externas
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